（2013•广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=2，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在

Question

（2013•广州三模）如图，在等腰梯形PDCB中，PB∥CD，PB=3，DC=1，PD=BC=√(2)，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．
（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V_PDCMA：V _M-ACB=2：1，若存在，确定点M的位置；若不存在，说明理由．
（3）在（2）的条件下，判断AM是否平行于平面PCD．

Answer 1

（1）证明：在梯形PDCB中，连接AC，∵PA

∥

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.

CD，∴四边形PACD为平行四边形．
∴PD=AC，
∵PD=√(2)，∴AC=√(2)．
∵DC=PA=1，∴AC²=AD²+CD²
∴CD⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD
∴DC⊥平面PAD．
∵DC⊂平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）在线段PB上存在这样的点M，当M为PB中点时，使截面AMC把几何体分成的两部分V_PDCMA：V_M-ACB=2：1．理由如下：
∵DC∥PA，CD⊥AD，∴PA⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，且交线为AD
∴PA⊥平面ABCD，
∵M为PB中点，∴点M到面ACB的距离等于(1)/(2)PA=(1)/(2)．
∴V_M-ACB=(1)/(3)×(1)/(2)•S△ACB＝(1)/(6)．
∵VP−ABCD＝(1)/(3)PA•S梯形ABCD=(1)/(3)×1×((1+2)×1)/(2)=(1)/(2)，
∴VPDCMA＝VP−ABCD−VM−ADP＝(1)/(3)．
∴(VPDCMA)/(VMABC)＝(2)/(1)，故M为PB中点．
（3）AM与平面PCD不平行．
∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PCD．
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，∴平面ABM∥平面PCD．
这与平面ABM与平面PCD有公共点P矛盾．
∴AM与平面PCD不平行．