由封闭曲线y^2=x^2(a^2-x^2)（a>0)围成的平面图形绕oy轴旋转得的旋转体,体积V积分表达式是什么?

Question

由封闭曲线y^2=x^2(a^2-x^2)（a>0)围成的平面图形绕oy轴旋转得的旋转体 ,体积V积分表达式是什么?

Answer 1

可看成以x=0为圆心的一个一个圆环柱
其中圆环柱的底面积为2πxdx,高为y=(-x^4+a^2x^2)^0.5
圆环柱体积dV=2πx(-x^4+a^2x^2)^0.5dx
对dV从0到a积分就是y>=0部分的体积
然后再乘以2就是整个旋转体的体积：
V=2∫(上限a,下限0)2πx(-x^4+a^2x^2)^0.5dx