f(x,y)=｛(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠00x^2+y^2=0这个题在（0,0）的偏导数存在否,存在求出,

Question

f(x,y)= ｛ (xy)/(x^2+y^2) x^2+y^2≠0 0 x^2+y^2=0 这个题在（0,0）的偏导数存在否,存在求出,

Answer 1

得到f_x(x,y)=y^3/(x^2+y^2)^
对于原点,要用定义求出偏导f_x(0,0)=0
但是注意到当(x,y)->(0,0)时f_x(x,y)并不趋向于0(比如沿直线y=kx方向),因此f_x在(0,0)是不连续的
补充：
如果f(x,y)在(x_0,y_0)的某个邻域内存在偏导数,并且偏导数在(x_0,y_0)连续,那么f(x,y)在(x_0,y_0)可微.