（2014•思明区质检）已知：抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1，1），且对于任意的实数x，有4x-4≤ax2+bx+c≤2x2-4x+4恒成立．（1）求4a+2b+c的值；（2）已知点B（0，2），设点M（x，y）是抛物线上任一点

Question

（2014•思明区质检）已知：抛物线y=ax²+bx+c经过点（-1，1），且对于任意的实数x，有4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4恒成立．
（1）求4a+2b+c的值；
（2）已知点B（0，2），设点M（x，y）是抛物线上任一点，求线段MB的长度的最小值．

Answer 1

（1）∵4x-4≤ax²+bx+c≤2x²-4x+4，对任意的实数x都成立，
∴当x=2时，有4≤4a+2b+c≤4，
∴4a+2b+c=4，①
（2）∵y=ax²+bx+c图象经过（-1，1），
∴a-b+c=1，②
由①，②可得，b=1-a，c=2-2a，
∵4x-4≤ax²+bx+c对任意的实数x都成立，
∴直线y=4x-4与抛物线y=ax²+bx+c至多只有一个交点，
方程ax²+bx+c=4x-4中，△=（b-4）²-4a（c+4）≤0，
把b=1-a，c=2-2a 代入得：9（a-1）²≤0
∴a=1，b=0，c=0，
即抛物线解析式为y=x²．
∵ax²+bx+c≤2x²-4x+4
∴x²≤2x²-4x+4，
由下图可知，MB²=x²+（y-2）²=x²+（x²-2）²，

令x²=m，MB²=m+（m-2）²=m²-3m+4=（m-(3)/(2)）²+(7)/(4)，
∴当m=(3)/(2)时，线段MB的长度的最小值MB=(√(7))/(2)，此时x=±(√(6))/(2)．
∴线段MB的长度的最小值MB=(√(7))/(2)．