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(2009•顺义区二模)已知:△ABC中,以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE,M为CD中点,N为CE中点,P为AB中点.(1)如图1,当∠ACB=120°时,∠MPN的度数为;(2)如图2,当∠ACB=α
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(2009•顺义区二模)已知:△ABC中,以AC、BC为边分别向形外作等边三角形ACD和BCE,M为CD中点,N为CE中点,P为AB中点.
(1)如图1,当∠ACB=120°时,∠MPN的度数为______;
(2)如图2,当∠ACB=α(0°<α<180°)时,∠MPN的度数是否变化?给出你的证明.
(1)如图1,当∠ACB=120°时,∠MPN的度数为______;
(2)如图2,当∠ACB=α(0°<α<180°)时,∠MPN的度数是否变化?给出你的证明.
▼优质解答
答案和解析
(1)设AC中点G、BC中点H,连接MG、PG;NH,PH.
由中位线定理,得MG∥AD,MG=
AD;
PG∥BC,PG=
BC;
PH∥AC,PH=
AC;
HN∥BE,HN=
BE.
∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴AD=AC,BC=BE,
∠MGC=∠DAC=60°,∠CGP=∠ECB=60°,∠PHC=∠ACD=60°,∠CHN=∠CBE=60°.
在△MGP与△PHN中,
,
∴△MGP≌△PHN(SAS),
∴∠MPG=∠PNH.
∵∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°,
∴∠MPG+∠NPH=60°.
∠2+∠3=∠1+∠ABC=180°-∠ACB=60°,
∴∠MPN=180°-(∠MPG+∠NPH)-(∠2+∠3)=60°.
故∠MPN的度数为 60;
(2)∠MPN的度数不变,仍是60°,理由如下:
证明:取AC、BC的中点分别为F,G,
连接MF、FP、PG、GN,
∵MF是等边三角形ACD的中位线,
∴MF=
AD=
AC,MF∥AD,
∵PG是△ABC的中位线,
∴PG=
AC,PG∥AC,
∴MF=PG,
同理:FP=CG,
∴四边形CFPG是平行四边形,
∴∠CFP=∠CGP,
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP,
即∠MFP=∠PGN,
∴△MFP≌△PGN(SAS),
∴∠FMP=∠GPN,
∵PG∥AC,
∴∠1=∠2,
在△MFP中,∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°,
又∵∠MFC=60°,
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°,
∵∠CFP=∠1+∠3,
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°,
∵∠1=∠2,∠FMP=∠GPN,
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°,
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°,
∴∠MPN=60°.
由中位线定理,得MG∥AD,MG=
1 |
2 |
PG∥BC,PG=
1 |
2 |
PH∥AC,PH=
1 |
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HN∥BE,HN=
1 |
2 |
∵△ACD和△BCE都是等边三角形,
∴AD=AC,BC=BE,
∠MGC=∠DAC=60°,∠CGP=∠ECB=60°,∠PHC=∠ACD=60°,∠CHN=∠CBE=60°.
在△MGP与△PHN中,
|
∴△MGP≌△PHN(SAS),
∴∠MPG=∠PNH.
∵∠PNH+∠NPH=180°-∠PHN=60°,
∴∠MPG+∠NPH=60°.
∠2+∠3=∠1+∠ABC=180°-∠ACB=60°,
∴∠MPN=180°-(∠MPG+∠NPH)-(∠2+∠3)=60°.
故∠MPN的度数为 60;
(2)∠MPN的度数不变,仍是60°,理由如下:
证明:取AC、BC的中点分别为F,G,
连接MF、FP、PG、GN,
∵MF是等边三角形ACD的中位线,
∴MF=
1 |
2 |
1 |
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∵PG是△ABC的中位线,
∴PG=
1 |
2 |
∴MF=PG,
同理:FP=CG,
∴四边形CFPG是平行四边形,
∴∠CFP=∠CGP,
∴∠MFC+∠CFP=∠CGN+∠CGP,
即∠MFP=∠PGN,
∴△MFP≌△PGN(SAS),
∴∠FMP=∠GPN,
∵PG∥AC,
∴∠1=∠2,
在△MFP中,∠MFC+∠CFP+∠FMP+∠FPM=180°,
又∵∠MFC=60°,
∴∠CFP+∠FMP+∠FPM=120°,
∵∠CFP=∠1+∠3,
∴∠1+∠3+∠FMP+∠FPM=120°,
∵∠1=∠2,∠FMP=∠GPN,
∴∠2+∠3+∠GPN+∠FPM=120°,
又∵∠3+∠FPM+∠MPN+∠GPN+∠2=180°,
∴∠MPN=60°.
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