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已知△ABC中,AC=BC,∠C=120°,点D为AB边的中点,∠EDF=60°,DE、DF分别交AC、BC于E、F点.(1)如图1,若EF∥AB.求证:DE=DF.(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题(1)的结论是否成立?说明
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已知△ABC中,AC=BC,∠C=120°,点D为AB边的中点,∠EDF=60°,DE、DF分别交AC、BC于E、F点.
(1)如图1,若EF ∥ AB.求证:DE=DF.
(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题(1)的结论是否成立?说明理由.
(1)如图1,若EF ∥ AB.求证:DE=DF.
(2)如图2,若EF与AB不平行.则问题(1)的结论是否成立?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵EF ∥ AB.
∴∠FEC=∠A=30°.
∠EFC=∠B=30°
∴EC=CF.
又∵AC=BC
∴AE=BF
D是AB中点.
∴DB=AD
∴△ADE≌△BDF.
∴DE=DF
(2)过D作DM⊥AC交AC于M,再作DN⊥BC交BC于N.
∵AC=BC,
∴∠A=∠B,
又∵∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=(180°-∠ACB)÷2=30°,
∴∠ADM=∠BDN=60°,
∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°.
∵AC=BC、AD=BD,
∴∠ACD=∠BCD,
∴DM=DN.
由∠MDN=60°、∠EDF=60°,可知:
一、当M与E重合时,N就一定与F重合.此时:
DM=DE、DN=DF,结合证得的DM=DN,得:DE=DF.
二、当M落在C、E之间时,N就一定落在B、F之间.此时:
∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF,
∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF,
∴∠EDM=∠FDN,
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN,
∴△DEM≌△DFN(ASA),
∴DE=DF.
三、当M落在A、E之间时,N就一定落在C、F之间.此时:
∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN,
∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN,
∴∠EDM=∠FDN,
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN,
∴△DEM≌△DFN(ASA),
∴DE=DF.
综上一、二、三所述,得:DE=DF.
∴∠FEC=∠A=30°.
∠EFC=∠B=30°
∴EC=CF.
又∵AC=BC
∴AE=BF
D是AB中点.
∴DB=AD
∴△ADE≌△BDF.
∴DE=DF
(2)过D作DM⊥AC交AC于M,再作DN⊥BC交BC于N.
∵AC=BC,
∴∠A=∠B,
又∵∠ACB=120°,
∴∠A=∠B=(180°-∠ACB)÷2=30°,
∴∠ADM=∠BDN=60°,
∴∠MDN=180°-∠ADM-∠BDN=60°.
∵AC=BC、AD=BD,
∴∠ACD=∠BCD,
∴DM=DN.
由∠MDN=60°、∠EDF=60°,可知:
一、当M与E重合时,N就一定与F重合.此时:
DM=DE、DN=DF,结合证得的DM=DN,得:DE=DF.
二、当M落在C、E之间时,N就一定落在B、F之间.此时:
∠EDM=∠EDF-∠MDF=60°-∠MDF,
∠FDN=∠MDN-∠MDF=60°-∠MDF,
∴∠EDM=∠FDN,
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN,
∴△DEM≌△DFN(ASA),
∴DE=DF.
三、当M落在A、E之间时,N就一定落在C、F之间.此时:
∠EDM=∠MDN-∠EDN=60°-∠EDN,
∠FDN=∠EDF-∠EDN=60°-∠EDN,
∴∠EDM=∠FDN,
又∵∠DME=∠DNF=90°、DM=DN,
∴△DEM≌△DFN(ASA),
∴DE=DF.
综上一、二、三所述,得:DE=DF.
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