如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；（2）求证：AC平分∠ECF；（3）求证：CE=2AF．

Question

如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足为F．
（1）若AC=10，求四边形ABCD的面积；
（2）求证：AC平分∠ECF；
（3）求证：CE=2AF．

Answer 1

（1） ∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，

AB=AD

∠BAC=∠DAE

AC=AE

，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∵S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△ACD，
∴S四边形ABCD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=(1)/(2)×102=50；

（2）证明：∵△ACE是等腰直角三角形，
∴∠ACE=∠AEC=45°，
由△ABC≌△ADE得：
∠ACB=∠AEC=45°，
∴∠ACB=∠ACE，
∴AC平分∠ECF；

（3）证明：过点A作AG⊥CG，垂足为点G，
∵AC平分∠ECF，AF⊥CB，
∴AF=AG，
又∵AC=AE，
∴∠CAG=∠EAG=45°，
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°，
∴CG=AG=GE，
∴CE=2AG，
∴CE=2AF．