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如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.(1)若AC=10,求四边形ABCD的面积;(2)求证:AC平分∠ECF;(3)求证:CE=2AF.
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如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CF,垂足为F.
(1)若AC=10,求四边形ABCD的面积;
(2)求证:AC平分∠ECF;
(3)求证:CE=2AF.
(1)若AC=10,求四边形ABCD的面积;
(2)求证:AC平分∠ECF;
(3)求证:CE=2AF.
▼优质解答
答案和解析
(1) ∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD,
在△ABC和△ADE中,
,
∴△ABC≌△ADE(SAS),
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,
∴S四边形ABCD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=
×102=50;
(2)证明:∵△ACE是等腰直角三角形,
∴∠ACE=∠AEC=45°,
由△ABC≌△ADE得:
∠ACB=∠AEC=45°,
∴∠ACB=∠ACE,
∴AC平分∠ECF;
(3)证明:过点A作AG⊥CG,垂足为点G,
∵AC平分∠ECF,AF⊥CB,
∴AF=AG,
又∵AC=AE,
∴∠CAG=∠EAG=45°,
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°,
∴CG=AG=GE,
∴CE=2AG,
∴CE=2AF.
∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD
∴∠BAC=∠EAD,
在△ABC和△ADE中,
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∴△ABC≌△ADE(SAS),
∵S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD,
∴S四边形ABCD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=
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(2)证明:∵△ACE是等腰直角三角形,
∴∠ACE=∠AEC=45°,
由△ABC≌△ADE得:
∠ACB=∠AEC=45°,
∴∠ACB=∠ACE,
∴AC平分∠ECF;
(3)证明:过点A作AG⊥CG,垂足为点G,
∵AC平分∠ECF,AF⊥CB,
∴AF=AG,
又∵AC=AE,
∴∠CAG=∠EAG=45°,
∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45°,
∴CG=AG=GE,
∴CE=2AG,
∴CE=2AF.
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