在△ABC中，BC=2，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为（）A．1B．2C．3D．4

Question

在△ABC中，BC=√(2)，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为（　　）

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

如右图：△ABC中，BC=√(2)，AC=1，∵AB=BD，
∴在△ABC中，由正弦定理得(AC)/(sin∠ABC)=(AB)/(sin∠ACB)=(BD)/(sin∠ACB)，
∴BDsin∠ABC=sin∠ACB，
在△BCD中，CD²=BD²+BC²-2BD•BCcos（90°+∠ABC）
=AB²+2+2AB•√(2)sin∠ABC
=（ AC²+BC²-2AC•BC•cos∠ACB）+2+2√(2)•ABsin∠ABC
=（1+2-2√(2)cos∠ACB）+2+2√(2)•BDsin∠ABC
=（1+2-2√(2)cos∠ACB）+2+2√(2)•sin∠ACB
=5+2√(2)•sin∠ACB-2√(2)cos∠ACB
=5+4sin（∠ACB-45°），
∴当∠ACB=135°时CD²最大为9，故CD最大值为3，
故选：C．