如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB．

Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB=BC=1，PA⊥平面ABCD，CD⊥PC．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若E为AD的中点，求证：CE∥平面PAB．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD
∴CD⊥PA…（2分）
又∵CD⊥PC…（3分）
而PC∩PA=P…（4分）
所以，CD⊥面PAC…（5分）
（Ⅱ）∵AB⊥BC，AB=BC=1
∴∠BAC=45°∴∠CAD=45°…（6分）
又由（Ⅰ）CD⊥面PAC
∴CD⊥AC
∴△ACD为等腰直角三角形                                …（7分）
又E为AD中点∴CE⊥AD…（8分）
又∵BC∥AD∴CE⊥BC
所以，∴CE∥AB…（9分）
而AB⊂面PAB，CE⊄面PAB
所以CE∥面PAB…（10分）