如图,三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点,延长线DA至点E,使CE=CD.⑴求证AE=BD⑵若AC⊥BC,求证AD+BD=√2CD

Question

如图,三角形ABC是圆O的内接三角形.AC=BC.D为圆O中弧AB上一点,延长线DA至点E,使CE=CD.⑴求证AE=BD⑵若AC⊥BC,求证AD+BD=√2CD

Answer 1

（1）
∵CE=CD AC=BC ∠CAE=∠ADC+∠ACD=∠ABC+∠ABD=∠CBD（三角形外角及圆周角定理）
∴△ACE ≌△BCD
AE=BD
（2）
∵△ACE ≌△BCD
AE=BD ∠ACE=∠BCD
AD+BD=AD+AE=DE=√2CD
DE^2=2CD^2=CD^2+CE^2(符合勾股定理边与边的关系)
∠DCE=90（DE对边为直角）
∠DCE=∠ACD+∠ACE=∠ACD+∠BCD=90
∴AC⊥BC