在ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为O与边BD、DC的切点，设BD=BC．（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；（2）若AC=6，O的半径为1，求AE的长．

Question

在ABC中，边AC上有一点D满足DC=2AD，O是△BDC的内心，E、F分别为 O与边BD、DC的切点，设BD=BC．

（1）求证：①AE⊥EF，②AE∥DO；
（2）若AC=6， O的半径为1，求AE的长．

Answer 1

解（1）①连接OB、OF，
∵点O是△BDC的内心，
∴OB平分∠DBC，
∵CD与 O相切，
∴OF⊥CD，
∵BD=BC，
∴B、O、F三点共线，
∴DF=CF，
∵DC=2AD，
∴AD=DF，
∵BD与 O相切，
∴由切线长定理可知：DE=DF，
∴AD=DE=DF，
∴A、E、F三点共圆，且圆心为D
∵AF是 D的直径，
∴∠AEF=90°，
∴AE⊥EF，

②∵O是△BDC的内心，
∴DO平分∠BDC，
∴∠EDF=2∠EDO，
∵∠EDF=∠DAE+∠DEA，
∴2∠EDO=2∠DEA，
∴∠EDO=∠DEA，
∴AE∥DO，

（2）设DO与EF相交于点G，
由（1）可知：DE=DF，DO平分∠EDF，
∴DO⊥EF，
∵AD=DF=CF，AC=6，
∴DF=2，
∵OF=1，
∴由勾股定理可求得：OD=√(5)，
∵(1)/(2)DF•OF=(1)/(2)OD•FG，
∴FG=(2√(5))/(5)，
由垂径定理可知：EF=2FG=(4√(5))/(5)，
∵AF=2DF=4，
∵∠AEF=90°，
∴由勾股定理可求得：AE=(8√(5))/(5)．