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在ABC中,边AC上有一点D满足DC=2AD,O是△BDC的内心,E、F分别为O与边BD、DC的切点,设BD=BC.(1)求证:①AE⊥EF,②AE∥DO;(2)若AC=6,O的半径为1,求AE的长.
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在ABC中,边AC上有一点D满足DC=2AD,O是△BDC的内心,E、F分别为 O与边BD、DC的切点,设BD=BC.
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(1)求证:①AE⊥EF,②AE∥DO;
(2)若AC=6, O的半径为1,求AE的长.
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(1)求证:①AE⊥EF,②AE∥DO;
(2)若AC=6, O的半径为1,求AE的长.
▼优质解答
答案和解析
解(1)①
连接OB、OF,
∵点O是△BDC的内心,
∴OB平分∠DBC,
∵CD与 O相切,
∴OF⊥CD,
∵BD=BC,
∴B、O、F三点共线,
∴DF=CF,
∵DC=2AD,
∴AD=DF,
∵BD与 O相切,
∴由切线长定理可知:DE=DF,
∴AD=DE=DF,
∴A、E、F三点共圆,且圆心为D
∵AF是 D的直径,
∴∠AEF=90°,
∴AE⊥EF,
②∵O是△BDC的内心,
∴DO平分∠BDC,
∴∠EDF=2∠EDO,
∵∠EDF=∠DAE+∠DEA,
∴2∠EDO=2∠DEA,
∴∠EDO=∠DEA,
∴AE∥DO,
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(2)设DO与EF相交于点G,
由(1)可知:DE=DF,DO平分∠EDF,
∴DO⊥EF,
∵AD=DF=CF,AC=6,
∴DF=2,
∵OF=1,
∴由勾股定理可求得:OD=
,
∵
DF•OF=
OD•FG,
∴FG=
,
由垂径定理可知:EF=2FG=
,
∵AF=2DF=4,
∵∠AEF=90°,
∴由勾股定理可求得:AE=
.
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∵点O是△BDC的内心,
∴OB平分∠DBC,
∵CD与 O相切,
∴OF⊥CD,
∵BD=BC,
∴B、O、F三点共线,
∴DF=CF,
∵DC=2AD,
∴AD=DF,
∵BD与 O相切,
∴由切线长定理可知:DE=DF,
∴AD=DE=DF,
∴A、E、F三点共圆,且圆心为D
∵AF是 D的直径,
∴∠AEF=90°,
∴AE⊥EF,
②∵O是△BDC的内心,
∴DO平分∠BDC,
∴∠EDF=2∠EDO,
∵∠EDF=∠DAE+∠DEA,
∴2∠EDO=2∠DEA,
∴∠EDO=∠DEA,
∴AE∥DO,
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(2)设DO与EF相交于点G,
由(1)可知:DE=DF,DO平分∠EDF,
∴DO⊥EF,
∵AD=DF=CF,AC=6,
∴DF=2,
∵OF=1,
∴由勾股定理可求得:OD=
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∵
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1 |
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∴FG=
2
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由垂径定理可知:EF=2FG=
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∵AF=2DF=4,
∵∠AEF=90°,
∴由勾股定理可求得:AE=
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