若1≤x，y，z≤2，且xyz=4，则log22x+log22y+log22z的取值范围是．

Question

若1≤x，y，z≤2，且xyz=4，则lo

g

2 2

x+lo

g

2 2

y+lo

g

2 2

z的取值范围是___．

Answer 1

∵1≤x，y，z≤2，∴0≤log₂x≤1，0≤log₂y≤1，0≤log₂z≤1；
又xyz=4，∴log₂（xyz）=log₂x+log₂y+log₂z=2；
设a=log₂x，b=log₂y，c=log₂z，
则a、b、c∈[0，1]，且a+b+c=2；
又a²+b²≥2ab，
b²+c²≥2bc，
c²+a²≥2ac，
∴2a²+2b²+2c²≥2ab+2bc+2ca，
∴3a²+3b²+3c²≥a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac，
即3（a²+b²+c²）≥（a+b+c）²=2²=4，
∴a²+b²+c²≥(4)/(3)；
又a、b、c∈[0，1]，
∴a²≤a，b²≤b，c²≤c，
∴a²+b²+c²≤a+b+c=2；
综上，(4)/(3)≤a²+b²+c²≤2，
即lo

g

2 2

x+lo

g

2 2

y+lo

g

2 2

z的取值范围是[(4)/(3)，2]．
故答案为：[(4)/(3)，2]．