设在区间[a，b]上f（x）＞0，f′（x）＜0，f″（x）＞0．令S1=∫baf(x)dx，S2=f（b）（b-a），S3=12[f（a）+f（b）]（b-a），则（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S3＜S1＜S2D．S2＜S3＜S1

Question

设在区间[a，b]上f（x）＞0，f′（x）＜0，f″（x）＞0．令S₁=

∫

b a

f(x)dx，S₂=f（b）（b-a），S₃=(1)/(2)[f（a）+f（b）]（b-a），则（　　）

A．S₁＜S₂＜S₃
B．S₂＜S₁＜S₃
C．S₃＜S₁＜S₂
D．S₂＜S₃＜S₁

Answer 1

由题意：f'（x）＜0．f''（x）＞0，可以函数在区间[a，b]上单调减少且是凹函数，
根据函数单调性有：f（b）＜f（a）＜f（b），x∈（a，b）
根据凹函数定义有：f（x）＜g（x）=f（a）+(f(b)−f(a))/(b−a)(x−a)；
显然：g（x）=f（a）+(f(b)−f(a))/(b−a)(x−a)为过（a，f（a）），（b，f（b））两点的直线方程，
因此有：f（b）＜g（x）＜f（a），x∈（a，b）
综上有：f（b）＜f（x）＜f（a）+(f(b)−f(a))/(b−a)(x−a)＜f（a）
根据积分保号性有：

∫

b a

f(b)dx＜

∫

b a

f(x)dx＜

∫

b a

[f(a)+(f(b)−f(a))/(b−a)(x−a)]dx
又：

∫

b a

f(b)dx=f（b）（b-a）=S₂

∫

b a

f(x)dx=S₁；

∫

b a

[f(a)+(f(b)−f(a))/(b−a)(x−a)]dx=f（a）（b-a）+(b2−a2)/(2)(f(b)+f(a))/(b−a)−a(b−a)(f(b)−f(a))/(b−a)
=(1)/(2)[f（a）+f（b）]（b-a）=S₃
因此：S₂＜S₁＜S₃．
故本题选：B．