已知定义域为R的函数f（x）满足：①f（x+y）=f（x）•f（y）对任何实数x、y都成立；②存在实数x1、x2使，f（x1）≠f（x2）．求证：（1）f（0）=1；（2）f（x）＞0．

Question

已知定义域为R的函数f（x）满足：
①f（x+y）=f（x）•f（y）对任何实数x、y都成立；
②存在实数x₁、x₂使，f（x₁）≠f（x₂）．
求证：
（1）f（0）=1；
（2）f（x）＞0．

Answer 1

证明：（1）令x=y=0则f（0）=f²（0），
∴f（0）=0或f（0）=1
若f（0）=0则令y=0，即有f（x）=f（x）•f（0）=0对x∈R均成立，与②矛盾，
故f（0）≠0，
若f（0）=1，则f（x）=f（x）成立，
∴f（0）=1；
（2）将x，y均换成(x)/(2)，则
f（x）=f²（(x)/(2)）即f（x）≥0，
若f（x）=0这与②矛盾，
∴f（x）＞0成立．