对于集合M包含R^2,称M为开集,当且仅当任意P0属于M,存在r>0,使得{P属于R^2||PP0|对于集合M包含于R^2,称M为开集,当且仅当任意P0属于M,存在r>0,使得{P属于R^2||PP0|＜r}包含于M,判断集合{(x,y)|4x+2y-5>0}与{(x

Question

对于集合M包含R^2,称M为开集,当且仅当任意P0属于M,存在r>0,使得{P属于R^2||PP0|
对于集合M包含于R^2,称M为开集,当且仅当任意P0属于M,存在r>0,使得{P属于R^2||PP0|＜r}包含于M,判断集合{(x,y)|4x+2y-5>0}与{(x,y)|x>=0,y>0}是否为开集,并证明

Answer 1

这个.
你是什么水平的学生,我就把你当成大二的学生来讲了,并且是数学系的.
题目写的很晦涩,不过意思很简单,就是对开集做了一个定义.如果M是R^2
中的开集,那么M中的任何一个点P,必然存在一个以P为圆心的圆,这个圆包含在集合M中.
当然,题目有设定这个圆的半径是r,这个是简单欧式拓扑对开集的定义.
题目给的集合M={(x,y)|4x+2y-5>0}是开集,设P是集合M中的一点,d是点p到直线|4x+2y-5=0的距离,取r=d/2,P为圆心的圆,显然圆和直线4x+2y-5=0没有交点,并且整个圆都在直线的上方,因此圆中所有的点都满足4x+2y-5>0.考虑P点的选取是任意的,因此M是开集
{(x,y)|x>=0,y>0}不是开集,反例就是点（0,1）,无论你半径是多少,以点（0,1）为圆心做的圆,总是不能完全处于集合内.