已知数列{an}，a1=1，an+1=an+ln（1+1n）（n∈N*），求an．

Question

已知数列{a_n}，a₁=1，a_n+1=a_n+ln（1+(1)/(n)）（n∈N^*），求a_n．

Answer 1

∵a_n+1=a_n+ln（1+(1)/(n)），
∴a_n+1-a_n=ln（1+(1)/(n)）=ln(n+1)/(n)=ln（n+1）-lnn，
∴a₂-a₁=ln2-ln1，
a₃-a₂=ln3-ln2，
a₄-a₃=ln4-ln3，
…
a_n-a_n-1=lnn-ln（n-1），
等式两边相加得a_n-a₁=lnn-ln1，
即a_n=lnn-a₁=lnn-1．