在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0（1）求C的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．

Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足c=1，且cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0
（1）求C的大小；
（2）求a²+b²的最大值，并求取得最大值时角A，B的值．

Answer 1

（1）cosBsinC+（a-sinB）cos（A+B）=0
可得：cosBsinC-（a-sinB）cosC=0
即：sinA-acosC=0．
由正弦定理可知：(a)/(sinA)=(c)/(sinC)，
∴(asinC)/(c)-acosC=0，c=1，
∴asinC-acosC=0，
sinC-cosC=0，可得√(2)sin（C-(π)/(4)）=0，C是三角形内角，
∴C=(π)/(4)．
（2）由余弦定理可知：c²=a²+b²-2abcosC，
得1=a²+b²-√(2)ab
又ab≤(a2+b2)/(2)，
∴(1-(√(2))/(2))(a2+b2)≤1，
即：a2+b2≤2+√(2)．
当A=B=(3)/(8)π时，a²+b²取到最大值为2+√(2)．