在等差数列{an}中，a2=5，a6=21，记数列{1an}的前n项和为Sn，若S2n+1-Sn≤m15，∀n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为（）A.3B.4C.5D.6

Question

在等差数列{a_n}中，a₂=5，a₆=21，记数列{(1)/(an)}的前n项和为S_n，若S_2n+1-S_n≤(m)/(15)，∀n∈N^*恒成立，则正整数m的最小值为（　　）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Answer 1

∵在等差数列{a_n}中a₂=5，a₆=21，
∴公差d=(a6−a2)/(6−2)=4
∴a_n=5+4（n-2）=4n-3，∴(1)/(an)=(1)/(4n−3)，
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（(1)/(an+1)+(1)/(an+2)+…+(1)/(a2n+1)）-（(1)/(an+2)+(1)/(an+3)+…+(1)/(a2n+3)）
=(1)/(an+1)−(1)/(a2n+2)−(1)/(a2n+3)=(1)/(4n+1)−(1)/(8n+5)−(1)/(8n+9)
=（(1)/(8n+2)−(1)/(8n+5)）+（(1)/(8n+2)−(1)/(8n+9)）＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为S₃-S₁=(1)/(5)+(1)/(9)=(14)/(45)
∴只需(14)/(45)≤(m)/(15)，变形可得m≥(14)/(3)，
又∵m是正整数，∴m的最小值为5．
故选：C．