已知数列{an}是等比数列，a2=4，a3+2是a2和a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2log2an-1，求数列{anbn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}是等比数列，a₂=4，a₃+2是a₂和a₄的等差中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2log₂a_n-1，求数列{a_nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（Ⅰ）设数列{a_n}的公比为q，
因为a₂=4，所以a₃=4q，a4=4q2．）
因为a₃+2是a₂和a₄的等差中项，所以2（a₃+2）=a₂+a₄．
即2（4q+2）=4+4q²，化简得q²-2q=0．
因为公比q≠0，所以q=2．
所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n（n∈N^*）．
（Ⅱ）因为an=2n，所以b_n=2log₂a_n-1=2n-1．
所以anbn=(2n-1)2n．
则Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n，①，
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1，②，
①-②得，-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)2n+1．
=2+2×(4(1-2n-1))/(1-2)-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1，
所以Tn=6+(2n-3)2n+1．