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已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中项.(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;(Ⅱ)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n项和Tn.
题目详情
已知数列{an}是等比数列,a2=4,a3+2是a2和a4的等差中项.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n项和Tn.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=2log2an-1,求数列{anbn}的前n项和Tn.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,
因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.)
因为a3+2是a2和a4的等差中项,所以2(a3+2)=a2+a4.
即2(4q+2)=4+4q2,化简得q2-2q=0.
因为公比q≠0,所以q=2.
所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n(n∈N*).
(Ⅱ)因为an=2n,所以bn=2log2an-1=2n-1.
所以anbn=(2n-1)2n.
则Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①,
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,②,
①-②得,-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)2n+1.
=2+2×
-(2n-1)2n+1=-6-(2n-3)2n+1,
所以Tn=6+(2n-3)2n+1.
因为a2=4,所以a3=4q,a4=4q2.)
因为a3+2是a2和a4的等差中项,所以2(a3+2)=a2+a4.
即2(4q+2)=4+4q2,化简得q2-2q=0.
因为公比q≠0,所以q=2.
所以an=a2qn-2=4×2n-2=2n(n∈N*).
(Ⅱ)因为an=2n,所以bn=2log2an-1=2n-1.
所以anbn=(2n-1)2n.
则Tn=1×2+3×22+5×23+…+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n,①,
2Tn=1×22+3×23+5×24+…+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1,②,
①-②得,-Tn=2+2×22+2×23+…+2×2n-(2n-1)2n+1.
=2+2×
4(1-2n-1) |
1-2 |
所以Tn=6+(2n-3)2n+1.
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