（2014•上海二模）在数列{an}中，a1=1，且对任意的k∈N*，a2k-1，a2k，a2k+1成等比数列，其公比为qk．（1）若qk=2（k∈N*），求a1+a3+a5+…+a2k-1；（2）若对任意的k∈N*，a2k，a2k+1，a2k+2成等差数列，

Question

（2014•上海二模）在数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，其公比为q_k．
（1）若q_k=2（k∈N^*），求a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1；
（2）若对任意的k∈N^*，a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，设b_k=(1)/(qk−1)．
①求证：{b_k}成等差数列，并指出其公差；
②若d₁=2，试求数列{d_k}的前k项的和D_k．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，且对任意的k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等比数列，公比q_k=2（k∈N^*），
∴(a2k+1)/(a2k−1)＝4，
∴a₁+a₃+a₅+…+a_2k-1=(1−4k)/(1−4)=(1)/(3)(4k−1)．
（2）①∵a_2k，a_2k+1，a_2k+2成等差数列，其公差为d_k，
∴2a_2k+1=a_2k+a_2k+2，
而a2k＝(a2k+1)/(qk)，a_2k+2=a_2k+1•q_k+1，
∴(1)/(qk)+qk+1＝2，则qk+1−1＝(qk−1)/(qk)，
得(1)/(qk+1−1)＝(qk)/(qk−1)，
∴(1)/(qk+1−1)−(1)/(qk−1)＝1，即b_k+1-b_k=1，
∴{b_k}是等差数列，且公差为1．
②∵d₁=2，∴a₃=a₂+2，
则有a22＝1×a3＝a2+2，
解得a₂=2，或a₂=-1．
（i）当a₂=2时，q₁=2，∴b₁=1，
则b_k=1+（k-1）×1=k，
即(1)/(qk−1)＝k，得qk＝(k+1)/(k)，
∴(a2k+1)/(a2k−1)=((k+1)2)/(k2)，
则a2k+1＝

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(a2k+1)/(a2k−1)