设A＝（a1,a2,a3,a4）为四阶方程,若（1,1,1,1）T为Ax＝0的一个基础解系,写出A*x＝0的一个基础解系!

Question

设A＝（a1,a2,a3,a4）为四阶方程,若（1,1,1,1）T为Ax＝0的一个基础解系,写出A*x＝0的一个基础解系!

Answer 1

因为 (1,1,1,1)^T 为Ax＝0的一个基础解系
所以 r(A) = 3 = 4-1
所以 r(A*) = 1
所以 A*x=0 的基础解系含 4-1 = 3 个解向量.
再由 r(A)=3 知 |A|=0
故 A*A = |A|E = 0.
所以 A 的列向量 a1,a2,a3,a4 都是 A*x = 0 的解.
又因为 (1,1,1,1)^T 为Ax＝0的解
所以 a1+a2+a3+a4 = 0
所以 a4 可由 a1,a2,a3 线性表示
而 r(A)=3
故 a1,a2,a3 线性无关
所以 a1,a2,a3 是 A*x=0 的一个基础解系.