已知等差数列{an}的公差d<0，a2+a6=10，a2a6=21．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=2an，记数列{bn}前n项的乘积为Tn，求Tn的最大值．

Question

已知等差数列{a_n}的公差d<0，a₂+a₆=10，a₂a₆=21．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=2 an，记数列{b_n}前n项的乘积为T_n，求T_n的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由题意可得，

(a1+d)+(a1+5d)=10

(a1+d)(a1+5d)=21

，
解得：

a1=8

d=-1

或

a1=2

d=1

（舍）．
∴a_n=a₁+（n-1）d=9-n；
（Ⅱ）Tn=b1b2…bn=2a1+a2+…+an=2Sn，
由（Ⅰ）得，Sn=na1+(n(n-1)d)/(2)=-(n2)/(2)+(17n)/(2)=-(1)/(2)(n-(17)/(2))2+(289)/(8)，
∴当n=8或n=9时，S_n取到最大值36．
∴T_n的最大值为2³⁶．