已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2+a6=14，S5=25．（1）求an及Sn；（2）数列{bn}中，令b1=1，bn=4an2-1（n≥2，n∈N*），证明：数列{bn}的前n项和Tn<2．

Question

已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂+a₆=14，S₅=25．
（1）求a_n及S_n；
（2）数列{b_n}中，令b₁=1，b_n=(4)/(an2-1) （n≥2，n∈N^*），证明：数列{b_n}的前n项和T_n<2．

Answer 1

（1） 设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂+a₆=14，S₅=25．
∴

2a1+6d=14

5a1+(5×4)/(2)d=25

，
解得

a1=1

d=2

，
∴a_n=2n-1，
S_n=(n(1+2n-1))/(2)=n²．
（2）证明：∵b_n=(4)/(an2-1)=(4)/((2n-1)2-1)=(1)/(n(n-1))=(1)/(n-1)-(1)/(n)，（n≥2，n∈N^*），
∴T_n=1+[(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+…+((1)/(n-1)-(1)/(n))]
=1+1-(1)/(n)<2．