已知a+b=1，a2+b2=2，求a7+b7的值．

Question

已知a+b=1，a²+b²=2，求a⁷+b⁷的值．

Answer 1

∵a+b=1，
∴（a+b）²=1，
∴a²+b²+2ab=1．
∵a²+b²=2，
∴2+2ab=1，
∴ab=-0.5，
∴（a²+b²）²=4，
则有a⁴+b⁴+2（ab）²=4，
∴a⁴+b⁴=3.5，
平方得：（a⁴+b⁴）²=12.25，
a⁸+b⁸+2（ab）⁴=12.25，
∴a⁸+b⁸=12.125，
∵a⁶+b⁶=（a²+b²）[a⁴+b⁴-（ab）²]
=2×（3.5-0.25）
=6.5，
∴a⁷+b⁷=（a⁷+b⁷）（a+b）
=a⁸+b⁸+ab⁷+ba⁷
=（a⁸+b⁸）+ab（a⁶+b⁶）
=12.125+（-0.5）×6.5
=8.875．