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已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，a4和a8的等差中项为11．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）证明：当n≥2时，有1S1+1S2+…+1Sn＜74．
题目详情
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S7=49，a4和a8的等差中项为11．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，有
+
+…+
＜
．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，有
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| Sn |
| 7 |
| 4 |
▼优质解答
答案和解析
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵S7=49，a4和a8的等差中项为11，
∴
，
解得a1=1，d=2，
∴an=2n-1，Sn=n2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知Sn=n2，n∈N*，
①n=2时，
+
＝1+
＜
，∴原不等式也成立．
②当n≥3时，∵n2＞（n-1）n，
∴
＜
−
，
∴
+
+…+
=
+
+…+
＜1+
+
+…+
=1+
+[（
−
）+…+（
−
∵S7=49，a4和a8的等差中项为11，
∴
|
解得a1=1，d=2，
∴an=2n-1，Sn=n2．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知Sn=n2，n∈N*，
①n=2时，
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| 4 |
| 7 |
| 4 |
②当n≥3时，∵n2＞（n-1）n，
∴
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n−1 |
| 1 |
| n |
∴
| 1 |
| S1 |
| 1 |
| S2 |
| 1 |
| Sn |
| 1 |
| 12 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| n2 |
＜1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2×3 |
| 1 |
| (n−1)n |
=1+
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n−2 |
|
|
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