在等差数列{an}中，a16+a17+a18=a9=-18，其前n项和为Sn．（1）求Sn的最小值；（2）求出Sn取最小值时n的值．

Question

在等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-18，其前n项和为S_n．
（1）求S_n的最小值；
（2）求出S_n取最小值时n的值．

Answer 1

（1）∵在等差数列{a_n}中a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-18，
∴a₁₆+a₁₇+a₁₈=3a₁₇=-18，∴a₁₇=-6，
∴公差d=(a17-a9)/(17-9)=(-6-(-18))/(8)=(3)/(2)，
∴a₉=a₁+8d=a₁+8×(3)/(2)=-18，解得a₁=-30，
∴S_n=-30n+(n(n-1))/(2)×(3)/(2)=(1)/(4)（3n²-123n），
由二次函数可知当n=-(-123)/(2×3)=20(1)/(2)时取最小值，
结合n为正整数和二次函数的对称性可知当n=20或21时，S_n取最小值，
代值计算可得S₂₁=S₂₀=(1)/(4)（3×20²-123×20）=-315；
（2）由（1）知当S_n取最小值时n的值为20或21．