设（x+1）4（x+4）8=a0（x+3）12+a1（x+3）11+…+a11（x+3）+a12．求：（1）a0+a1+a2+…+a12的值；（2）a0+a2+a4+…+a12的值．

Question

设（x+1）⁴（x+4）⁸=a₀（x+3）¹²+a₁（x+3）¹¹+…+a₁₁（x+3）+a₁₂．求：
（1）a₀+a₁+a₂+…+a₁₂的值；
（2）a₀+a₂+a₄+…+a₁₂的值．

Answer 1

（1）因为（x+1）⁴（x+4）⁸=a₀（x+3）¹²+a₁（x+3）¹¹+…+a₁₁（x+3）+a₁₂．
当x=-2时，x+3=1．等式化为：（-1）⁴（-2）⁸=2⁸=256=a₀+a₁+a₂+…+a₁₂．
所以a₀+a₁+a₂+…+a₁₂=256…①
（2）．当x=-4时，x+3=-1．等式化为：（-3）⁴（0）⁸=0=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂…②
上述①②两等式相加有：左边=256+0=256，
右边=（a₀+a₁+a₂+…+a₁₂）+（a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₂）
=2（a₀+a₂+…+a₁₂） 所以a₀+a₂+…+a₁₂=(256)/(2)=128
所以a₀+a₂+…+a₁₂=128．