在数列{an}中,已知a1=1,an=an-1+an-2+…+a2+a1（n∈N*,n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2an,1b3b4+1b4b5+…+1bnbn+1＜m对于任意的n∈N*,且n≥3恒成立,求m的取值范围．

Question

在数列{an}中,已知a1=1,an=an-1+an-2+…+a2+a1（n∈N*,n≥2）． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若bn=log2an,1 b3b4 + 1 b4b5 +…+ 1 bnbn+1 ＜m对于任意的n∈N*,且n≥3恒成立,求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵an=an-1+an-2+…+a2+a1（n∈N*,n≥2）,
∴Sn-Sn-1=Sn-1,∴
Sn
Sn−1
＝2,
∴数列{Sn}是以S1=a1=1为首项,以2为公比的等比数列,
∴Sn=2n-1．当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1-2n-2=2n-2．
∵a1=1不适合上式,
∴数列的通项公式为an＝
1(n＝1) 或2n−2(n≥2).；
（2）（2）当n∈N*,且n≥3时,bn=n-2,
1/bnbn+1 ＝1/(n−2)(n−1) ＝1/n−2 −1/n−1,
∴1/b3b4 +1/ b4b5 +…+1/bnbn+1＝(1−1/2)+(1/2−1/3)+…+(1/（n−2）- 1/（n−1)＝1−1/（n−1） ＜m恒成立；
∴m≥1‘