设定义在R上的函数f(x)=a4x^2+a3x^3+a2x^2+a1x+a0的图像关于原点对称,且当x=-1时,f(x)取得极大值2/3.(1)设定义在R上的函数f(x)=a4x^2+a3x^3+a2x^2+a1x+a0的图像关于原点对称,且当x=-1时,f(x)取得极大值2/3.(1)求f(

Question

设定义在R上的函数f(x)=a4x^2+a3x^3+a2x^2+a1x+a0的图像关于原点对称,且当x=-1时,f(x)取得极大值2/3. (1)
设定义在R上的函数f(x)=a4x^2+a3x^3+a2x^2+a1x+a0的图像关于原点对称,且当x=-1时,f(x)取得极大值2/3.
(1)求f(x)的表达式；
(2)若x1=1-2^t ,x2=根号2(3^t-1),其中t＜0,求证0小于f(x2)-f(X
1)＜4/3

Answer 1

1
∵图像关于原点对称
∴f(x)奇函数 f(-x)=-f(x)
f(-x)=a4x^4-a3x^3+a2x^2-a1x+a0
∴a4x^2a3-x^3+a2x^2-a1x+a0
=-a4x^4-a3x^3-a2x^2-a1x-a0
∴a4=a2=a0=0
f(x)=a3x^3+a1x
f'(x)=3a3x^2+a1
当x=-1时,f(x)取得极大值2/3.
∴f'(-1)=3a3+a1=0
f(-1)=-a3-a1=2/3.
a3=1/3,a1=-1
f(x)=x^3/3-x
2
f'(x)=x^2-1=(x+1)(x-1)
x1,f'(x)>0 f(x)分别递增
-1