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设n为正奇数,证明方程a0x的n次方＋a1x的n－1次方＋……＋an－1x＋an＝0至少有一个实根,其中a0≠0
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设n为正奇数,证明方程a0x的n次方＋a1x的n－1次方＋……＋an－1x＋an＝0至少有一个实根,其中a0≠0
▼优质解答
答案和解析
不妨设a0>0
那么 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)……+an-1x+an
有lim f(x)/x^n =a0 当x->无穷大时
所以存在N>0,当x>N时 有 f(x)/x^n>a0/2 那么f(N+1)>(a0/2)(N+1)^n>0
同理存在M>0,当xa0/2 那么f(-M-1)
那么 f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)……+an-1x+an
有lim f(x)/x^n =a0 当x->无穷大时
所以存在N>0,当x>N时 有 f(x)/x^n>a0/2 那么f(N+1)>(a0/2)(N+1)^n>0
同理存在M>0,当xa0/2 那么f(-M-1)
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