如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC1上，且AC1=4AF．（1）求证：平面ADF⊥平面BCC1B1；（2）求证：EF∥平面ABB1A1．

Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC，点D为BC中点，点E为BD中点，点F在AC₁上，且AC₁=4AF．

（1）求证：平面ADF⊥平面BCC₁B₁；
（2）求证：EF∥平面ABB₁A₁．

Answer 1

证明：（1）因为直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以CC₁⊥平面ABC，
而AD⊂平面ABC，所以CC₁⊥AD．…（2分）
又AB=AC，D为BC中点，所以AD⊥BC，
因为BC∩CC₁=C，BC⊂平面BCC₁B₁，CC₁⊂平面BCC₁B₁，
所以AD⊥平面BCC₁B₁，…（5分）
因为AD⊂平面ADF，
所以平面ADF⊥平面BCC₁B₁．…（7分）
（2）连结CF延长交AA₁于点G，连结GB．
因为AC₁=4AF，AA₁∥CC₁，所以CF=3FG，
又因为D为BC中点，点E为BD中点，所以CE=3EB，
所以EF∥GB，…（11分）
而EF⊄平面AB₁A₁B，GB⊂平面AB₁A₁B，
所以EF∥平面ABB₁A₁．…（14分）