an=1+2+3+.n^2,bn=1+2+.+n,比较an和（bn）^2的大小

Question

an=1+2+3+.n^2,bn=1+2+.+n,比较an和（bn）^2的大小

Answer 1

an=1+2+3+.n^2=n²（n²+1）/2
bn=1+2+.+n=n(n+1)/2
所以b²=n²（n+1）²/4=n²（n²+2n+1）/4
an/（bn）²=2（n²+1）/（n²+2n+1）
=（n²+n²+1+1）/（n²+2n+1）
当n=1时an=（bn）
当n≥2时,n²+1≥2n,此时an/（bn）²=（n²+n²+1+1）/（n²+2n+1）＞0
所以有an≥(bn)²