如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC=90°，M、N分别为BB1、A1C1的中点．（1）求证：AB⊥CB1（2）求证：MN∥平面ABC1．

Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，M、N分别为BB₁、A₁C₁的中点．

（1）求证：AB⊥CB₁
（2）求证：MN∥平面ABC₁．

Answer 1

证明：（1）∵面BB₁C⊥面ABC，面BB₁C∩面ABC=BC，∠ABC=90°
∴AB⊥面BB₁C．
又∵CB₁⊂面BB₁C，
∴AB⊥CB₁．
（2）取AA₁的中点E，连NE，ME．
∵在△AA₁C₁中，N，E是中点，
∴NE∥AC₁，
又因为M、E分别为BB₁、A₁A的中点．，
∴ME∥AB．
又∵AB∩AC₁=A，
∴平面MNE∥平面ABC₁；
而MN⊂平面MNE，
∴MN∥平面ABC₁．