在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知平面BB1C1C⊥平面ABC，AB=AC，D是BC中点，且B1D⊥BC1．（Ⅰ）证明：A1C∥平面B1AD；（Ⅱ）证明BC1⊥平面B1AD．

Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知平面BB₁C₁C⊥平面ABC，AB=AC，D是BC中点，且B₁D⊥BC₁．
（Ⅰ）证明：A₁C∥平面B₁AD；
（Ⅱ）证明BC₁⊥平面B₁AD．

Answer 1

证明：（Ⅰ）连结BA₁交AB₁与点O，由棱柱知侧面AA₁B₁B为平行四边形，
∴O为BA₁的中点，又D是BC的中点，
∴OD∥A₁C，
∵A₁C⊄平面B₁AD，OD⊂平面B₁AD，
∴A₁C∥平面B₁AD．
（Ⅱ）∵D是BC的中点，AB=AC，
∴AD⊥BC，
∵平面BB₁C₁C⊥平面ABC，平面BB₁C₁C∩平面ABC=BC，AD⊂平面ABC，
∴AD⊥平面BB₁C₁C，
∵BC₁⊂平面BB₁C₁C，
∴AD⊥BC₁，
又B₁D⊥BC₁，且AD∩B₁D=D，
∴BC₁⊥平面B₁AD．