在三角形ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断三角形的形状(sinA)^2*sinB/cosB=(sinB)^2*sinA/cosA怎么变成sinA/cosB=sinB/cosAsinAcosA=sinBcosB然后怎么推到sin2A=sin2B

Question

在三角形ABC中,已知a2tanB=b2tanA,试判断三角形的形状
(sinA)^2*sinB/cosB=(sinB)^2*sinA/cosA怎么变成
sinA/cosB=sinB/cosA
sinAcosA=sinBcosB然后怎么推到
sin2A=sin2B

Answer 1

sin^2A*sinB/cosB=sin^2B*sinA/cosA.
∵sinA≠0,cosB≠0,∴等式两边同约去sinA*sinB公因式.
∴sinA/cosB=sinB/cosA.
sinAcosA=sinBcosB.
∵sinAcosA=(1/2)*(2sinAcosA)=(1/2)sin2A.【2sinAcosA=sin2A(公式)】
同理,sinBsinB=(1/2)*2sinBcosB=(1/2)sin2B.
∴（1/2)sin2A=(1/2)sin2B.【两边约去（1/2)]】后得：
∴sin2A=sin2B.
2A=2B.（1）；sin2A=sin(180°-2B) (2) 【同名三角函数值相等,其角度相等,或互补】
由（1)式得：A=B.
∴△ABC为等腰三角形；
由(2)式得：2A=180-2B,2A+2B=180°,A+B=90°.
∴△ABC为直角三角形.
这样,一步一步地看一下,就清楚了一些吧.