一道不等式的证明已知x,y,z>0,xyz=1.求证1/[x^2(y+1)+1]+1/[y^2(z+1)+1]+1/[z^2(x+1)+1]>=1.

Question

一道不等式的证明
已知x,y,z>0,xyz=1.求证1/[x^2(y+1)+1]+1/[y^2(z+1)+1]+1/[z^2(x+1)+1]>=1.

Answer 1

证明:为表述方便,记a =x^2,b =y^2,c =z^2
则原式等价于:
1/[a*y+a+1]+1/[b*z+b+1]+1/[c*x+c+1] >=1
等价于:
bc/[a*b*c*y+a*b*c+bc]+ca/[a*b*c*z+a*b*c+ca]+ab/[a*b*c*x+a*b*c+ab] >=1
注意到a*b*c =1,上式等价于:
bc/[1+y+bc]+ca/[1+z+ca]+ab/[1+x+ab] >=1 (*)
下面证明之:
(*)式右边>= (yz+zx+xy)^2/[3+x+y+z+ab+bc+ca] [注1]
= [ab+bc+ca +2(x+y+z)]/[3+x+y+z+ab+bc+ca]
注意到:x+y+z >=3 (均值不等式)
知命题成立.
证毕
[注1]:这里使用了Cauchy(柯西)不等式的一种变形,下面简单说明之:
(注意,下面的x,y,z,a,b,c等符号与上面的无关)
由柯西不等式知:
(x^2+y^2+z^2)*(a^2+b^2+c^2) >=(ax+by+cz)^2 (展开相减可以证明)
从而对a,b,c>0有
(x^2/a+y^2/b+z^2/c)(a+b+c) >=(x+y+z)^2 (将a看成根号a的平方即知)
即 :
x^2/a+y^2/b+z^2/c >= (x+y+z)^2/(a+b+c)
这就是证明中所用到的.