设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13{an/bn}的前n项和Sn.详细点过程

Question

设{an}是等差数列,{bn}是各项都为正数的等比数列且a1=b1=1,a3+b5=21,a5+b3=13
{an/bn}的前n项和Sn.
详细点过程

Answer 1

设an=1+(n-1)d,bn=q^(n-1)
由a3+b5=21,a5+b3=13得到
2d+q^4=20 （1）
4d+q^2=12 （2）
（1）*2-（2）消去d得到
2q^4-q^2-28=0,即(q^2-4)*(2q^2+7)=0,得到q^2=4,q=2
带入（2）得到d=2
an/bn=(2n-1)/2^(n-1)
Sn=1/2^0+3/2^1+5/2^2+.+(2n-1)/2^(n-1) (1)
(1/2)Sn=1/2^1+3/2^2+.+(2n-3)/2^(n-1)+(2n-1)/2^n (2)
(1)-(2)
得到：(1/2)Sn=-1/2^0+2*[1/2^0+1/2^1+1/2^2+.+1/2^(n-1)]-(2n-1)/2^n
=-1+4[1-1/2^n]-(2n-1)/2^n
所以Sn=6-(2n+3)/2^(n-1)