数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1，等差数列{bn}满足b3=3，b5=9，（1）分别求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若对任意的n∈N*，(Sn+12)•k≥bn恒成立，求实数k的取值范围．

Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n+1，等差数列{b_n}满足b₃=3，b₅=9，
（1）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）若对任意的n∈N^*，(Sn+(1)/(2))•k≥bn恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）由a_n+1=2S_n+1①
得a_n=2S_n-1+1②，
①-②得a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=3a_n（n≥2）
又a₂=3，a₁=1也满足上式，
∴a_n=3^n-1；（3分）
b₅-b₃=2d=6∴d=3
∴b_n=3+（n-3）×3=3n-6；（6分）
（2）Sn＝(a1(1−qn))/(1−q)＝(1−3n)/(1−3)＝(3n−1)/(2)，
∴((3n−1)/(2)+(1)/(2) )k≥3n−6对n∈N^*恒成立，
∴k≥(6n−12)/(3n)对n∈N^*恒成立，（8分）
令cn＝(3n−6)/(3n)，cn−cn−1＝ (3n−6)/(3n)−(3n−9)/(3n−1)＝(−2n+7)/(3n−1)，
当n≤3时，c_n＞c_n-1，当n≥4时，c_n＜c_n-1，（10分）
(cn)max＝c3＝(1)/(9)，
所以实数k的取值范围是k≥(2)/(9)（12分）