已知数列{an}的前n项和Sn=n2（n∈N*），数列{bn}是各项均为正数的等比数列，b3=1，b5=16．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）设cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．

Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，b₃=1，b₅=16．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²（n∈N^*），
∴a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，（n≥2）
a₁=S₁=1，满足上式，
∴a_n=2n-1．
∵数列{b_n}是各项均为正数的等比数列，b₃=1，b₅=16，
∴

b1q2＝1

b1q4＝16

，解得b1＝(1)/(16)，q=4或(1)/(b1)＝(1)/(16)，q=-4（舍）．
∴bn＝(1)/(16)×4n−1=4^n-3．
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•4^n-3，
∴Tn＝1•4−2+3•4−1+5•40+7•4+…+（2n-1）•4^n-3，①
4T_n=1•4^-1+3•4⁰+5•4+7•4²+…+（2n-1）•4^n-2，②
①-②，得−3Tn＝(1)/(16)+2(4−1+40+4+42+…+4^n-3）-（2n-1）•4^n-2
=(1)/(16)+2×((1)/(4)(1−4n−1))/(1−4)−(2n−1)•4n−2
=−(1)/(48)+(1)/(12)•4n−1−(2n−1)•4n−2，
∴T_n=(1)/(144)-(4n−2)/(9)+(2n−1)/(3)•4n−2．