设a，b，c∈R+，ab+bc+ca≥3，证明a5+b5+c5+a3（b2+c2）+b3（c2+a2）+c3（a2+b2）≥9．

Question

设a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca≥3，证明a⁵+b⁵+c⁵+a³（b²+c²）+b³（c²+a²）+c³（a²+b²）≥9．

Answer 1

证明：原命题等价于（a³+b³+c³）（a²+b²+c²）≥9，…（3分）
又（a³+b³+c³）²≥9((a2+b2+c2)/(3))3，…（6分）
故只需要证明a²+b²+c²≥3成立．…（9分）
∵a，b，c∈R⁺，ab+bc+ca≥3，
∴a²+b²≥2ab，
a²+c²≥2ac，
b²+c²≥2bc，
∴2（a²+b²+c²）≥2（ab+bc+ca）≥6．
∴a²+b²+c²≥3成立．
故原结论成立．（12分）