已知曲线S;y=2x-x^3求过点A(1,1)并与曲线S相切的直线方程(请用设切点的方法）

Question

已知曲线S;y=2x-x^3求过点A(1,1)并与曲线S相切的直线方程(请用设切点的方法）

Answer 1

设：切点坐标为(m,n),切线方程为y=kx+b
因为：切点位于S上,
所以,有：n=2m-m³
即：切点坐标为(m,2m-m³)
y=2x-x³
y'=2-3x²
y'(m)=2-3m²
切线的斜率k为：k=2-3m²
代入所设,切线方程为：y=(2-3m²)x+b
又：点A、B在切线上,
故,有：
1=2-3m²+b………………………………………(1)
2m-m³=(2-3m²)m+b……………………………(2)
由(1)得：b=3m²-1………………………………(3)
由(2)得：b=2m³…………………………………(4)
(4)-(3),有：2m³-3m²+1=0
(m-1)(2m²+2m-1)=0
有：m-1=0、2m²+2m-1=0
解得：m1=1、m2=(-1+√3)/2、m3=-(1+√3)/2
分别代入(3),有：
b1=2、b2=(4-3√3)/2、b3=(8+3√3)/2
分别代入切线方程,有：
所求切线方程为：
y=2-x
y=(√3)x/2+(4-3√3)/2
y=(-2+3√3)x/2+(8+3√3)/2
即：过点A,可以有三条直线与曲线S相切.