等差数列｛an}和｛bn}的前n项和分别为Sn和Tn,对一切正整数n都有Sn/Tn=2n/(3n+1）,则a7/b9=?

Question

等差数列｛an}和｛bn}的前n项和分别为Sn和Tn,对一切正整数n都有Sn/Tn=2n/(3n+1）,则a7/b9=?

Answer 1

∵等差数列{a[n]}和{b[n]}的前n项和分别为S[n]和T[n],对一切正整数n都有S[n]/T[n]=2n/(3n+1）
∴a[n]/b[n]=(2n-1)a[n]/{(2n-1)b[n]}=S[2n-1]/T[2n-1]
∴a[7]/b[7]=S[13]/T[13]=26/40=13/20
a[9]/b[9]=S[17]/T[17]=34/52=17/26
∴(a[7]/b[7])(a[9]/b[9])=(a[7]/b[9])(a[9]/b[7])=17/40
设x=a[7]/b[9],y=a[9]/b[7]
则：xy=17/40 【1】
∵(a[7]+a[9])/(b[7]+b[9])=a[8]/b[8]=S[15]/T[15]=30/46=15/23 【2】
∴【2】式左边分子、分母同除以b[7],得：
(a[7]/b[7]+a[9]/b[7])/(1+b[9]/b[7])=(13/20+y)/(1+b[9]/b[7])=15/23
即：b[9]/b[7]=(23/15)(13/20+y)-1 【3】
【2】式左边分子、分母同除以b[9],得：
(a[7]/b[9]+a[9]/b[9])/(b[7]/b[9]+1)=(x+17/26)/(b[7]/b[9]+1)=15/23
即：b[7]/b[9]=(23/15)(x+17/26)-1 【4】
【3】*【4】,得：
{(23/15)(13/20+y)-1}{(23/15)(x+17/26)-1}=1
整理得：10y=13x+2
由【1】式,得：x*10y=17/4
∴x(13x+2)=17/4
52x^2+8x-17=0
(2x-1)(26x+17)=0
∴x=1/2 或者 x=-17/26
即：a[7]/b[9]=1/2 或者 a[7]/b[9]=-17/26