已知椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若椭圆C1上存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是[22，1）[22，1）．

Question

已知椭圆C₁：(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）与圆C₂：x²+y²=b²，若椭圆C₁上存在点P，使得由点P所作的圆C₂的两条切线互相垂直，则椭圆C₁的离心率的取值范围是

[(√(2))/(2)，1）

[(√(2))/(2)，1）

．

Answer 1

连接OA，OB，OP，依题意，O、P、A、B四点共圆，
∵∠APB=90°，
∴∠APO=∠BPO=45°，
在直角三角形OAP中，cos∠AOP=(b)/(|OP|)=(√(2))/(2)，
∴|OP|=√(2)b，
∴b＜|OP|≤a，
∴√(2)b≤a，
∴2b²≤a²，即2（a²-c²）≤a²，
∴a²≤2c²，
∴e≥(√(2))/(2)，又0＜e＜1，
∴(√(2))/(2)≤e＜1，
∴椭圆C的离心率的取值范围是[(√(2))/(2)，1）．
故答案为：[

√(作业帮用户2017-11-16为您推荐：问题解析利用O、P、A、B四点共圆的性质及椭圆离心率的概念，综合分析即可求得椭圆C的离心率的取值范围．名师点评本题考点：椭圆的简单性质．考点点评：本题考查椭圆的离心率，考查四点共圆的性质及三角函数的概念，考查转化与方程思想，属于中档题．广告扫描下载二维码©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)