从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N．求线段QN的中点P的轨迹方程．

Question

从双曲线x²-y²=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N．求线段QN的中点P的轨迹方程．

Answer 1

设动点P的坐标为（x，y），点Q的坐标为（x₁，y₁）
则N（ 2x-x₁，2y-y₁）代入x+y=2，得2x-x₁+2y-y₁=2    ①
又PQ垂直于直线x+y=2，故(y−y1)/(x−x1)＝1，即x-y+y₁-x₁=0     ②
由①②解方程组得x₁=(3)/(2)x+(1)/(2)y-1，y₁=(1)/(2)x+(3)/(2)y-1，
代入双曲线方程即可得P点的轨迹方程是2x²-2y²-2x+2y-1=0．