证明下面的式子1+4C1n+7C2n+10C3n+……(3n+1)*Cnn=(3n+2)2^n-1是组合数

Question

证明下面的式子 1+4C1n+7C2n+10C3n+……(3n+1)*Cnn=(3n+2)2^n-1 是组合数

Answer 1

(1+x)^n=1+c(n,1)x+c(n,2)x^2+..c(n,n)x^n
x=1,2^n=1+c(n,1)+..c(n,n)
两边对X求导
n(1+x)^(n-1)=c(n,1)+2c(n,2)x+3c(n,3)x^2+...+nc(n,n)x^(n-1)
3n(1+x)^(n-1)=3c(n,1)+6c(n,2)x+3c(n,3)x^2+...+3nc(n,n)x^(n-1)
x=1,3n*2^(n-1)=3c(n,1)+6c(n,2)+...3nc(n,n)
上两式相加即得结果：
2^n+3n*2^(n-1)=(3n+2)*2^(n-1)=1+4c(n,1)+7c(n,2)+...(3n+1)c(n,n)