对于给定的整数a、b.求证：若a、b之积为偶数,则存在两个整数c、d,满足等式a2+b2+c2=d2；反之,若存在整数c、d,使得等式a2+b2+c2=d2成立,则a、b之积为偶数

Question

对于给定的整数a、b.求证：若a、b之积为偶数,则存在两个整数c、d,满足等式a2+b2+c2=d2；反之,若存在整数c、d,使得等式a2+b2+c2=d2成立,则a、b之积为偶数

Answer 1

若a、b之积为偶数,显然要么a,b同偶,要么一奇一偶.所以a^2+b^2被4除余0或者余1.
如果a^2+b^2被4除余0,则方程组
d+c=(a^2+b^2)/2
d-c=2
一定有整数解.
如果a^2+b^2被4除余1,则方程组
d+c=a^2+b^2
d-c=1
一定有整数解.
总之,a^2+b^2+c^2=d^2有整数解.
反过来也类似,我就不写了.