如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BE平分∠ABC交AC于点E．（1）求证：BC=BE+AE；（2）探究：若∠A=108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？说明理由．

Question

如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=100°，BE平分∠ABC交AC于点E．

（1）求证：BC=BE+AE；
（2）探究：若∠A=108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？说明理由．

Answer 1

（1）如图1，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，
∵AB=AC，∠A=100°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=20°，
∵BF=BC，
∴∠F=∠BCF=80°，
∴∠FCE=∠ACB=40°，
在BC上取CF′=CF，连接EF′，
在△FCE与△F′CE中

CF=CF′

∠F′CE=∠FCE

CE=CE

，
∴△FCE≌△F′CE，
∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，
∴∠BF′E=100°，
∴∠A=∠BF′E，
在△ABE与△BF′E中，

∠A=∠BF′E

∠ABE=∠F′BE

BE=BE

，
∴△ABE≌△F′BE，
∴AE=EF′，
∴AE=EF，
∴BC=BE+EF=BE+AE；

（2）结论：BC=AB+CE=AC+CE，
如图2，在BC上取BA′=BA，连接EA′，
∵∠A=108°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBA=18°，
在△ABE与△A′BE中，

AB=A′B

∠ABE=∠A′BE

BE=BE

，
∴△ABE≌△A′BE，
∴∠BA′E=∠A=108°，
∴∠EA′C=72°，
∴∠A′EC=72°，
∴∠A′EC=∠CA′E，
∴CE=CA′，
∴BC=BA′+EC=AB+EC=AC+EC．