已知向量abc满足a+b+c=0,试证a*b=b*c=c*a

Question

已知向量a b c满足a+b+c =0,试证a*b=b*c=c*a

Answer 1

当a b c 中有一个零向量时,
假使a为零向量,有a叉乘b=c叉乘a=0,又b+c=0,b和c共线,所以b叉乘c=0
所以a叉乘b=b叉乘c=c叉乘a=0
当a b c 中有三个零向量时,
显然由a叉乘b=b叉乘c=c叉乘a=0
当a b c 中无零向量时,
a b c 三个向量首位相接可以组成一个三角形ABC
a叉乘b=|a|*|b|*sin=2倍三角形面积（三角形面积=0.5*|a|*|b|*sin）
类似的
b叉乘c=|b|*|c|*sin=2倍三角形面积（三角形面积=0.5*|b|*|c|*sin）
c叉乘a=|c|*|a|*sin=2倍三角形面积（三角形面积=0.5*|c|*|a|*sin）
另外根据右手螺旋,可知a叉乘b、b叉乘c、c叉乘a的方向是相同的
所以a叉乘b=b叉乘c=c叉乘a