如图，⊙O是直角△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，弦BD=BA，BE垂直DC的延长线于点E，（1）求证：∠BCA=∠BAD．（2）求DE的长．（3）求证：BE是⊙O的切线．

Question

如图，⊙O是直角△ABC的外接圆，∠ABC=90°，AB=12，BC=5，弦BD=BA，BE垂直DC的延长线于点E，

（1）求证：∠BCA=∠BAD．
（2）求DE的长．
（3）求证：BE是⊙O的切线．

Answer 1

（1）证明：∵BD=BA，
∴∠BDA=∠BAD，
∵∠BCA=∠BDA，
∴∠BCA=∠BAD；
（2）∵∠ABC=90°，AB=12，BC=5，
∴AC=√(AB2+BC2)=13，
∵∠BDE=∠CAB，
而∠BED=∠CBA=90°，
∴△BED∽△CBA，
∴(BD)/(AC)=(DE)/(AB)，即(12)/(13)=(DE)/(12)，
∴DE=(144)/(13)；
（3）证明：连结OB，如图，
∵∠BCA=∠BAD，
而∠BCE=∠BAD，
∴∠BCA=∠BCE，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠CBO，
∴∠BCE=∠CBO，
∴OB∥ED，
∵BE⊥ED，
∴EB⊥BO，
∴BE是⊙O的切线．