如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是．

Question

如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC=20，DE是△ABC的中位线，点M是边BC上一点，BM=3，点N是线段MC上的一个动点，连接DN，ME，DN与ME相交于点O．若△OMN是直角三角形，则DO的长是___．

Answer 1

如图作EF⊥BC于F，DN′⊥BC于N′交EM于点O′，此时∠MN′O′=90°，
∵DE是△ABC中位线，
∴DE∥BC，DE=(1)/(2)BC=10，
∵DN′∥EF，
∴四边形DEFN′是平行四边形，∵∠EFN′=90°，
∴四边形DEFN′是矩形，
∴EF=DN′，DE=FN′=10，
∵AB=AC，∠A=90°，
∴∠B=∠C=45°，
∴BN′=DN′=EF=FC=5，
∴(ED)/(MN′)=(DO′)/(O′N′)，
∴(10)/(2)=(DO′)/(5-DO′)，
∴DO′=(25)/(6)．
当∠MON=90°时，
∵△DOE∽△EFM，
∴(DO)/(EF)=(ED)/(EM)，
∵EM=√(EF2+MF2)=13，
∴DO=(50)/(13)，
故答案为(25)/(6)或(50)/(13)．